Question

已知f(n)=sin,n∈Z．

（1）求證：f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)；

（2）求f(1)+f(2)+…+f(2 007)．

Answer 1

（1）證明：f(1)=sin, f(9)=sinπ=sin(2π+)=sin,?又sin=sin(2π+)=sinπ,其中k=1,2,3,…,8.∴f(k)=f(k+8),則f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16).?（2）解：∵f(n)以8為周期，而2 007=250×8+7,?∴f(1)+f(2)+…+f(2 007)=250[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(7)又f(1)+f(2)+…+f(8)=sin+sin+…+sin=0,?∴f(1)+f(2)+…+f(2 007) =f(1)+f(2)+f(3)+…+f(7)=sin+sin+sin+sinπ+sin+sin+sin=0.