Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)求證：存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為；

(Ⅲ)比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ) ，證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(I)由切線斜率為及，由點(diǎn)斜式求切線即可；

(Ⅱ)由題意只需證明方程 在區(qū)間有唯一解，設(shè)函數(shù) 由單調(diào)性證明即可；

(Ⅲ) 首先證明當(dāng)時(shí)， ，由即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，

導(dǎo)函數(shù)為．

所以， 又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ）由已知．

所以只需證明方程 在區(qū)間有唯一解．

即方程 在區(qū)間有唯一解．

設(shè)函數(shù) ，

則 ．

當(dāng) 時(shí)， ，故在區(qū)間單調(diào)遞增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

（Ⅲ）．證明如下：

首先證明：當(dāng)時(shí)， ．

設(shè) ，

則 ．

當(dāng) 時(shí)， ， ，

所以 ，故在單調(diào)遞增，

所以 時(shí)，有，

即當(dāng) 時(shí)，有．

所以 ．