Question

【題目】已知等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.

(1)求數(shù)列， 的通項(xiàng)公式；

(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)若，求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)首先由題意求得首項(xiàng)和公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是，然后利用遞推關(guān)系可得的通項(xiàng)公式是;

(2)錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論可得數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，然后結(jié)合恒成立的條件可得.

試題解析：

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，

由，得，所以

故數(shù)列是以2為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，所以

因?yàn)?/span>，所以，

所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列

所以，

（2）因?yàn)?/span>，

③

所以④

③﹣④得

所以

（3）證明：由（1）知，

因?yàn)?/span>

所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列

當(dāng)時(shí)， ，即得最大值為1

由，所以

而當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

故.