Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是正方形，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)在棱上，且，判斷平面與平面是否平行，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）平面與平面不平行；詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平面平面和得平面.，得；

（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個(gè)半平面的法向量可求得結(jié)果；

（3）根據(jù)平面的法向量與向量不垂直可得結(jié)論.

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）由（1）知，，，所以.

又，，，

所以.所以.

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

所以，，，.

則有，，，

平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

又，，

由得

令，則，.所以.

設(shè)二面角的平面角為，則.

由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為.

（3）平面與平面不平行.理由如下：

由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，，

所以，所以與平面不平行.

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面與平面不平行.