Question

11．設(shè)拋物線y=ax²+bx在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相切，且與x軸所圍成圖形的面積為S．
（1）用含b的關(guān)系式表示a；
（2）求使S達到最大值時的a、b的值和S_max．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點（x₀，y₀），根據(jù)函數(shù)在x₀處的導(dǎo)數(shù)等于-1，以及切點在切線上又在曲線上建立方程組，可求出a與b的等式關(guān)系，最后求出b的范圍即可；
（2）利用定積分表示出此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積為S，然后利用定積分的運算法則求出面積S，最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可，同時求出此時的a和b．

解答 解：（1）因為直線x+y=4與拋物線y=ax²+bx相切，設(shè)切點（x₀，y₀）
則f′（x₀）=2ax₀+b=-1，
∴x₀=$\frac{-1-b}{2a}$，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+{y}_{0}=4}\\{{y}_{0}=a{{x}_{0}}^{2}+b{x}_{0}}\end{array}\right.$，
得a=-$\frac{（b+1）^{2}}{16}$，
∵x₀＞0，y₀＞0，得0＜$\frac{-1-b}{2a}$＜4，
即0＜$\frac{8}{b+1}$＜4，解得b＞1，
即有a=-$\frac{（b+1）^{2}}{16}$（b＞1）；
（2）S=${∫}_{0}^{-\frac{a}}$（ax²+bx）dx=（$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²）|${\;}_{0}^{-\frac{a}}$=$\frac{^{3}}{6{a}^{2}}$=$\frac{256^{3}}{6（b+1）^{4}}$，（b＞1），
S′=$\frac{128^{2}（3-b）}{3（b+1）^{5}}$，當(dāng)b＞3時，S′＜0，S遞減，當(dāng)1＜b＜3時，S′＞0，S遞增，
所以在b=3時，S取得極大值，也是最大值，
即a=-1，b=3時，S取得最大值，且S_max=$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，以及用定積分求面積時，要注意明確被積函數(shù)和積分區(qū)間，屬于中檔題．