Question

16．在△ABC中，已知sin²A+sin²B=2sin²C，則∠C的取值范圍是0＜∠C≤60°．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，表示出c²，利用余弦定理表示出cosC，將表示出的c²代入，并利用基本不等式求出cosC的度數，進而確定出∠C的范圍．

解答 解：∵△ABC中，sin²A+sin²B=2sin²C，
∴由正弦定理化簡得：a²+b²=2c²，即c²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，
∴由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{4ab}$≥$\frac{2ab}{4ab}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當a=b時取等號，
∵∠C為三角形內角，
∴0＜∠C≤60°，
故答案為：0＜∠C≤60°．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及余弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于基本知識的考查．