Question

17．已知點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（2）若直線l過（2，0）且與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A、B，以AB為直徑的圓恒過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接由點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列式整理得方程．
（2）AB為直徑的圓過原點(diǎn)?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0?x₁x₂+y₁y₂=0，從而考慮設(shè)直線方程，聯(lián)立直線于橢圓方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
∵點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)（-2，0）與定直線x=-4的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}}{|x+4|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）由（1）知橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0）
∵AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=2交橢圓于（2，$\sqrt{2}$），（2，-$\sqrt{2}$）兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2≠0，不合題意
若直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2），
代入橢圓方程，整理可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
由直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)可知△＞0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0
可得k=±$\sqrt{2}$
∴直線l的方程為y=±$\sqrt{2}$（x-2）．

點(diǎn)評 本題考查了與直線有關(guān)的動點(diǎn)的軌跡方程，考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線于橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，常見的解題思想是聯(lián)立直線方程與曲線方程，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．是中檔題．