Question

15．在平面直角坐標(biāo)系XOY中，以原點O為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，曲線C₂參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)）．
（1）求曲線C₁和C₂的直角坐標(biāo)系方程；
（2）若曲線C₁和C₂交于兩點A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，即ρ²=1，利用ρ²=x²+y²可得直角坐標(biāo)方程，曲線C₂參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程．
（2）兩個方程相減可得：經(jīng)過兩圓的交點的直線方程為：x+y=1．圓心O（0，0）到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-4wlpeh6^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，即ρ²=1，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=1，
曲線C₂參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosθ}\\{y=2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1化為普通方程：（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）兩個方程相減可得：經(jīng)過兩圓的交點的直線方程為：x+y=1．
圓心O（0，0）到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-gcgg9fg^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．