Question

【題目】如圖，平面上定點(diǎn)到定直線的距離，為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，且；

（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以線段FM的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系：則F（0，1），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則動(dòng)點(diǎn)Q（x，-1），則有，，再由 求解.

（2）根據(jù)題意以及，，知 ，于是轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的定義，過A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1、B1，有=，兩者聯(lián)立可得結(jié)論.

（1）

以線段FM的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系：

則，F（0，1），

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-1），

所以，，

由 ，

得.

（2）由已知，，

如圖：向量同向，所以，向量異向，所以，

所以，

過A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1、B1，

由三角形的相似性得，

由拋物線的定義知 ，

所以，

所以，

所以 .