Question

【題目】橢圓： 的離心率為，短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1)；(2)和.

【解析】

(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)題意設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理表示出,①當(dāng)為直角時(shí)，由列出方程即可求得k；②當(dāng)或為直角時(shí)，不妨設(shè)為直角，由及列出方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出直線的斜率k.

(1)根據(jù)題意可得，

所以橢圓方程為；

(2)根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)滿(mǎn)足題意得直線斜率存在，設(shè)，

聯(lián)立，消去y得：，

，令，解得，

，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

①當(dāng)為直角時(shí)，，即，

所以，

則，解得；

②當(dāng)或為直角時(shí)，不妨設(shè)為直角，

此時(shí)，，則，①，

又②，將①代入②可得，

解得或(舍去)，

將代入①，得，所以，

經(jīng)檢驗(yàn)，所求k值均與題意相符，綜上，k的值為和.