Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓與直線相切于，且滿足．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，問(wèn)內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有，最大值

【解析】

（1）由已知可得到直線的距離等于，結(jié)合，建立方程組，求解即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）即求內(nèi)切圓的半徑是否有最大值，因?yàn)?/span>周長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)化為的面積是否有最大值，設(shè)，則，再設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得出關(guān)系，表示為的函數(shù)，根據(jù)其特征求出范圍，即可得出結(jié)論.

（1）由已知橢圓方程為，

設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，由到直線的距離等于，

得，，

又，，

又，求得，．

橢圓方程為，

（2）設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

的周長(zhǎng)為，

所以，

根據(jù)題意，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由，得，

，，

，，

所以，

令，則，所以，

令，則當(dāng)時(shí)，，

單調(diào)遞增，所以，，

即當(dāng)，，直線的方程為時(shí)，

的最大值為3，此時(shí)內(nèi)切圓半徑最大，

內(nèi)切圓面積有最大值．