Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，得到增區(qū)間，得到減區(qū)間，注意對(duì)討論. （2）要使得對(duì)，都有，只需研究，，使得對(duì)任意，都有，去掉絕對(duì)值號(hào)有，令，對(duì)求導(dǎo) ，分和兩種情況研究單調(diào)性和最小值，注意這一特殊函數(shù)值.

解：（1）由，得，

∵，∴，

當(dāng)時(shí)，

由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)，在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜合以上有，

，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.

，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且

，使得對(duì)任意，都有，此時(shí)，

則由，得.

設(shè)，

令得，令得.

若，則，

∵，

∴在上單調(diào)遞減，注意到，

∴對(duì)任意，，與題設(shè)不符；

若，則，，

∴在上單調(diào)遞增，

∵，∴對(duì)任意，符合題意.

此時(shí)取，

可得對(duì)任意，都有.

綜上所述，的取值范圍為.