Question

已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720334702915161/SYS201411172033520917480739_ST/SYS201411172033520917480739_ST.001.png">的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

①對(duì)任意的，總有；

②；

③當(dāng)，且時(shí)，成立．

稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．

請(qǐng)解答下列各題：

(1)已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？請(qǐng)給出理由；

(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得，且，求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）在上為友誼函數(shù)；（3）證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）賦值可考慮取，代入，可得，由已知，可得.

（2）要判斷函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)，只要檢驗(yàn)函數(shù)在上是否滿足（1）；（2）；（3），且時(shí)，有即可．

（3）由，則，故有，即得結(jié)論成立；

(1)令，則．由③，得，即．又由①，得，所以.

(2) 是友誼函數(shù)．任取，，有．則．即．又，故在上為友誼函數(shù)．

(3)取，則．因此，．假設(shè)，若，則．若，則．都與題設(shè)矛盾，因此.

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題.