Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）直線過(guò)點(diǎn)且與動(dòng)圓圓心的軌跡交于、兩點(diǎn)．是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，面積的最大值為，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化兩圓內(nèi)切和外切的問(wèn)題，可得出，可得知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，并設(shè)該橢圓的方程為，利用橢圓的定義求出的值，可求出的值，由此可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，并計(jì)算出的面積關(guān)于的表達(dá)式，換元，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得出面積的最大值.

（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓的半徑為，

由題意知，，，

由橢圓定義可知，動(dòng)圓圓心在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，

設(shè)該橢圓的方程為，且，，.

由于圓內(nèi)切于圓于點(diǎn)，則.

因此，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為；

（2）存在面積的最大值.

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為或（舍）．

則，整理得 ．

由．

設(shè)點(diǎn)、，則，.

則，

因?yàn)?/span>．

設(shè)，則，則.

設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即．

因此，面積的最大值為．