Question

中心在原點(diǎn)O的橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），上頂點(diǎn)為（0，

3

），P₁、P₂、P₃是橢圓上任意三個(gè)不同點(diǎn)，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，則

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=（　�。�

• A、2
• B、3
• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意知c=1，b=

3

，a=2故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設(shè) 0≤α1＜

2π

3

，且 α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 e=

c

a

=

1

2

，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）．由此入手能夠推導(dǎo)出

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

為定值，并能求出此定值．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意知c=1，b=

3

，a=2故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設(shè) 0≤α1＜

2π

3

，且 α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 e=

c

a

=

1

2

，從而有|F₁P_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|F1Pi|cosαi)e=

1

2

(3-|F1Pi|cosαi)（i=1，2，3），解得

1

|F1Pi|

=

2

3

(1+

1

2

cosαi)（i=1，2，3）
因此

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

=

2

3

[3+

1

2

(cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

))]，
而 cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

)=cosα1-

1

2

cosα1-

3

2

sinα1-

1

2

cosα1+

3

2

sinα1=0，
故

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

=2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件．