Question

設函數f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），已知數列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數列，且x₁=a²．
（Ⅰ）求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=

2

時，求數列{x_n•f（x_n）}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件求出f（x₁）的值，再代入等差數列的通項公式，求出f（x_n）再由對數的運算求出x_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數列的通項公式x_n•f（x_n），根據特點利用錯位相減法求出前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f(x1)=logaa2=2，且d=2，
∴f（x_n）=2+（n-1）•2=2n，即log_ax_n=2n，
∴xn=a2n，
（Ⅱ）當a=

2

時，xn•f(xn)=2n•(

2

)2n=n•2n+1，

Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1 2Sn=1•23+2•24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2

，
兩式相減得，

-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2 = 22(1-2n) 1-2 -n•2n+2=(1-n)2n+2-4

，
∴Sn=(n-1)2n+2+4．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，對數的運算，以及錯位相減法求數列的前n項和S_n，考查了計算能力．