Question

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，證明 :（是的導(dǎo)函數(shù)）；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，以及二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的問題，和運(yùn)用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。

(1)中，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到

（2）中利用均值不等式的思想，表示出

和放縮法的思想得到

（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)，這項(xiàng)是

（Ⅱ）證法一：因

證法二：

因

而

故只需對(duì)和進(jìn)行比較。

令，有  由，得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，，

從而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。