Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一個(gè)頂點(diǎn),且右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程.

（2）若點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，是否存在斜率為,且過定點(diǎn)的直線，使與橢圓交于不同兩點(diǎn),且滿足? 若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在直線滿足題意，直線的方程為或

【解析】

（1）由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),求得的值，由右焦點(diǎn)到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的值，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）直線的方程，帶入橢圓方程得，利用韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合斜率公式將問題轉(zhuǎn)化為解方程即可.

（1）設(shè)橢圓的方程為：，由已知得，設(shè)右焦點(diǎn)為，

由題意的，∴或（舍去），∴，

∴橢圓的方程為：；

（2）直線的方程，帶入橢圓方程得，

由得，設(shè)，則，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，

∴點(diǎn)在線段的中點(diǎn)上，，化簡得：，

∵，∴，所以，存在直線滿足題意，直線的方程為或