Question

【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù)，且.

（1）求的值，并確定的解析式；

（2）若且）,是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上為減函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）或,（2）存在;

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),且可知且為偶數(shù),即可求得的值,進(jìn)而確定的解析式.

（2）將（1）所得函數(shù)的解析式代入即可得的解析式.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性對(duì)底數(shù)分類(lèi)討論,即可求得在區(qū)間上為減函數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>

則,解不等式可得

因?yàn)?/span>

則或或

又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)

所以為偶數(shù)

當(dāng)時(shí), ,符合題意

當(dāng)時(shí), ,不符合題意,舍去

當(dāng)時(shí), ,符合題意

綜上可知, 或

此時(shí)

（2）存在.理由如下:

由（1）可得

則且

當(dāng)時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對(duì)數(shù)部分為減函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為增函數(shù)且滿(mǎn)足在上恒成立

即解不等式組得

當(dāng)時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知對(duì)數(shù)部分為增函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知, 在上為減函數(shù)且滿(mǎn)足在上恒成立

即解不等式組得

綜上可知,當(dāng)或時(shí), 在上為減函數(shù)

所以存在實(shí)數(shù),滿(mǎn)足在上為減函數(shù)