Question

8．命題p：?x∈R，e^x-mx=0，命題q：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x在[-1，1]上遞減，若（￢p）∧q為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [-3，0]
• C． [-3，e）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)=m=$\frac{{e}^{x}}{x}$的極值，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在[-1，1]遞減的充要條件，最后利用p假q真求出m的交集即可．

解答 解：命題p：?x∈R，e^x-mx=0，
則：m=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
則：g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
當(dāng)x＜0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
所以：當(dāng)x=1時函數(shù)g（x）取極小值，g（1）=e．
所以：函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋海?∞，0）∪[e，+∞）．
即：m∈（-∞，0）∪[e，+∞）．
命題q：f（x）=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²-2x-mx²-2x在[-1，1]遞減，
所以：f′（x）=x²-2mx-2
由于函數(shù)f（x）在[-1，1]遞減，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
由（￢p）∧q為真命題，
則：p假q真，
所以$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜e}\\{-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$：，
解得0≤m≤$\frac{1}{2}$：
故選：A

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力，屬于中檔題．