Question

【題目】設函數f（x）為定義在R奇函數，當x＞0時，f（x）=﹣2x2+4x+1，
（1）求：當x＜0時，f（x）的表達式；
（2）用分段函數寫出f（x）的表達式；
（3）若函數h（x）=f（x）﹣a恰有三個零點，求a的取值范圍（只要求寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，則﹣x＞0，

∵當x＞0時，f（x）=﹣2x2+4x+1，

∴f（﹣x）=﹣2x2﹣4x+1，

∵f（x）為定義在R上是奇函數，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x2+4x﹣1

（2）解：∵f（x）為定義在R上是奇函數，

∴f（0）=﹣f（﹣0），則f（0）=0，

由（1）可得，f（x）=

（3）解：由函數h（x）=f（x）﹣a=0得，f（x）=a，

由條件得，當x＞0時，

f（x）=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，

由（2）畫出函數f（x）和y=a的圖象，如圖所示：

∵函數h（x）=f（x）﹣a恰有三個零點，

∴由圖得，﹣3＜a＜﹣1或a=0或1＜a＜3，

∴a的取值范圍是

{a|﹣3＜a＜﹣1或a=0或1＜a＜3}

【解析】（1）設x＜0則﹣x＞0，根據題意和奇函數的性質求出當x＜0時，f（x）的表達式；（2）由奇函數的性質求出f（0）=0，由（1）和分段函數表示出f（x）；（3）利用配方法化簡x＞0時的f（x），由（2）和二次函數的圖象畫出f（x）的圖象，根據函數零點的幾何意義和圖象，求出滿足題意的a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．