【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求函數(shù)
在點
處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3） 求證：當
時，
恒成立.
【答案】（1）
；（2）見解析；（3）見解析
【解析】
（1）求出函數(shù)
的導函數(shù)，得到切線斜率，利用點斜式得到切線方程；
（2）解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）要證
恒成立，即證
恒成立.分別求左側(cè)函數(shù)與右側(cè)函數(shù)的最小值與最大值即可.
（1）解：∵
，
，
∴
.
∴
.又∵
，
∴
，即
.
∴函數(shù)在點
處的切線方程為.
（2）解：函數(shù)的定義域為
.
，
當
時，
；當
時，
.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
.
（3）證明：由，得，
∴要證恒成立，即證恒成立.
令
，
，.
∵
，
∴當
時，
，
為增函數(shù)；
當
時，
，為減函數(shù).
∴
.
又∵
，
∴當
時，
，
為增函數(shù)；
當
時，
，為減函數(shù).
∴
.
∴恒成立.
∴當時，恒成立.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某地通過市場調(diào)查得到西紅柿種植成本
（單位：元/千克）與上市時間
（單位：
天）的數(shù)據(jù)如下表：
時間 |
|
|
|
種植成本 |
|
|
|
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)能夠比較準確描述與的變化關(guān)系，請求出函數(shù)的解析式；
（2）利用選取的函數(shù)，求西紅柿最低種植成本及此時的上市天數(shù).
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校高二（20）班共50名學生，在期中考試中，每位同學的數(shù)學考試分數(shù)都在區(qū)間
內(nèi)，將該班所有同學的考試分數(shù)分為七個組：
，
，
，
，
，
，
，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次考試學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）已知成績?yōu)?04分或105分的同學共有3人，現(xiàn)從成績在中的同學中任選2人，則至少有1人成績不低于106分的概率為多少？（每位同學的成績都為整數(shù)）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】函數(shù)
的定義域為
,且對任意
,有
,且當
時
.
（1）證明:是奇函數(shù);
（2）證明:在上是減函數(shù);
（3）求在區(qū)間
上的最大值和最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】橢圓
（
）的離心率是
，點
在短軸
上，且
。
（1）球橢圓
的方程；
（2）設
為坐標原點，過點
的動直線與橢圓交于
兩點。是否存在常數(shù)
，使得
為定值？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于函數(shù)
，若
，則稱
為的“不動點”；若
，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為
和
，即
，
．
（
）設函數(shù)
，求集合和．
（
）求證：
．
（
）設函數(shù)
，且
，求證：
．
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