Question

9．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點(diǎn)，則log₆a₂₀₁₇=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 f′（x）=x²-8x+6，由正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理得a₁×a₄₀₃₃=6，從而${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，由此能求出log₆a₂₀₁₇．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點(diǎn)，
∴a₁×a₄₀₃₃=6，
∴${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，
∴l(xiāng)og₆a₂₀₁₇=$lo{g}_{6}\sqrt{6}=\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、韋達(dá)定理、等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．