Question

20．關(guān)于x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，則a的取值范圍是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

Answer 1

分析 由題意，x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域的問題．

解答 解：由cos²x+sinx+a=0，
轉(zhuǎn)化為：1-sin²x+sinx+a=0，即（sinx-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}+a$
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上，
sinx∈（0，1）
∴sinx-$\frac{1}{2}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
則（sinx-$\frac{1}{2}$）²∈[0，$\frac{1}{4}$]
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}+a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{5}{4}+a≥0}\end{array}\right.$
∴a的取值范圍是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．
故答案為$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．