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【題目】如圖，已知圓錐底面半徑，為底面圓圓心，點(diǎn)Q為半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，與所成的角為，求：

（1）圓錐的側(cè)面積；

（2）兩點(diǎn)在圓錐面上的最短距離.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)可得；根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理和直角三角形中的長度關(guān)系可求得圓錐母線長；根據(jù)扇形面積公式可求得圓錐的側(cè)面積；（2）在圓錐側(cè)面上連接兩點(diǎn)可知最短距離為直線，將圓錐沿母線展開，根據(jù)（1）的結(jié)果可知圓心角為，根據(jù)角度和長度關(guān)系可證得為等邊三角形，從而求得結(jié)果.

（1）取中點(diǎn)，連接

則 即為異面直線與所成角

又平面 平面

平面

在中，

又

圓錐母線長，即側(cè)面展開扇形半徑

底面圓周長 圓錐的側(cè)面積

即圓錐的側(cè)面積為：

（2）在圓錐側(cè)面上連接兩點(diǎn)的所有曲線中，最短的必為直線

由（1）知，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為

沿母線將圓錐側(cè)面展開，如下圖所示：

則

是半圓弧的中點(diǎn)

又 為等邊三角形

即兩點(diǎn)在圓錐面上的最短距離為：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；最大值，以及取得最大值時(shí)x的取值集合；

（2）已知中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：

年齡段

人數(shù)（單位：人）

180

180

160

80

約定：此單位45歲59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會(huì)的觀眾.

（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？

（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？

熱衷關(guān)心民生大事

不熱衷關(guān)心民生大事

總計(jì)

青年

12

中年

5

總計(jì)

30

（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機(jī)抽取2人上臺(tái)表演節(jié)目，則抽出的2 人能勝任的2人能勝任才藝表演的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，設(shè)的定義域?yàn)?/span>.

（1）求；

（2）用定義證明在上的單調(diào)性，并直接寫出在上的單調(diào)性；

（3）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．

（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式；

（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，為線段的垂直平分線，與交與點(diǎn)為上異于的任意一點(diǎn).

求的值；

判斷的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個(gè)循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風(fēng)力影響；它比機(jī)力通風(fēng)冷卻塔維護(hù)簡便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復(fù)雜，造價(jià)較高.（以上知識(shí)來自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識(shí)水平，其中不符合實(shí)際處請(qǐng)忽略.）

（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個(gè)同心圓，其半徑分別40，，30，試根據(jù)上述尺寸計(jì)算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（為長度單位米）；

（2）試?yán)谜n本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個(gè)倒放的圓錐，計(jì)算封閉曲線：，，繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積多少？（用表示）.（用積分計(jì)算不得分）現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個(gè)薄殼結(jié)構(gòu)，為計(jì)算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點(diǎn)處），試計(jì)算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是？并計(jì)算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是多少；（計(jì)算時(shí)取3.14159，保留到個(gè)位即可）

（3）冷卻塔體型巨大，造價(jià)相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費(fèi)用（建筑人工和輔助機(jī)械）的計(jì)算，鋼筋土石等建筑材料費(fèi)用和和其它設(shè)備等施工費(fèi)用不在本題計(jì)算范圍內(nèi).超高建筑的施工（含人工輔助機(jī)械等）費(fèi)用隨著高度的增加而增加，現(xiàn)已知：距離地面高度30米（含30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費(fèi)用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費(fèi)用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費(fèi)用增加100元.試計(jì)算建造本題中冷卻塔的施工費(fèi)用（精確到萬元）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形， ， ，

，點(diǎn)在線段上，且， ， 平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求四棱錐的表面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，分別過橢圓左、右焦點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)，與橢圓分別交于與不同四點(diǎn)，直線的斜率滿足．已知當(dāng)與軸重合時(shí)，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值；若不存在，說明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)與軸重合時(shí)，垂直于軸，得,得,從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把坐標(biāo)化，可得點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而求得定點(diǎn)和點(diǎn).

試題解析：當(dāng)與軸重合時(shí)，, 即,所以垂直于軸，得，，, 得,橢圓的方程為.

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或;

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得：

, 所以:，, 則：

. 同理：, 因?yàn)?/span>

, 所以, 即, 由題意知, 所以

， 設(shè)，則，即，由當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或也滿足此方程，所以點(diǎn)在橢圓上.存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得為定值，定值為.

考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，性質(zhì)，方程.

【方法點(diǎn)晴】本題是對(duì)圓錐曲線的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查，第一問通過兩個(gè)特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關(guān)鍵是從這個(gè)角度出發(fā)，把坐標(biāo)化，求得點(diǎn)的軌跡方程是橢圓，從而求得存在兩定點(diǎn)和點(diǎn).

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，記，證明：．

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同步練習(xí)冊(cè)答案