Question

【題目】如圖，在四面體中，已知，，

（1）求證：；

（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用得出，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，得出平面，即可得證；（2）過作于點(diǎn)，由平面平面，推出平面，過做于點(diǎn)，連接，得出，得證平面，得出，從而可得為二面角的平面角，連接，則，由，，得出，，再由，，得出，從而求出，即可求出二面角的余弦值

試題解析：（1）證明：∵，，.

∴，

∴.

取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（2）解：過作于點(diǎn).則平面，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面.

過做于點(diǎn)，連接.

∵平面

∴

又，

∴平面

∴.

∴為二面角的平面角.

連接.

∵

∴.

∵，，

∴，.

∵，.

∴

∴.

∴

∴

∴二面角的余弦值為.