Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且直線過的外心，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，由半徑相等建立關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可求得解析式；

（2）可判斷直線斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程求得關(guān)于的韋達(dá)定理，再由直線過的外心，可得，即，結(jié)合前式的韋達(dá)定理表示的關(guān)系式解方程可求參數(shù)，即可求定點(diǎn)

（1）設(shè)點(diǎn)，則，

平方整理得：，

∴曲線的方程為.

（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，否則不與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程

得，

則得，，

由得：，.

.

.

∵直線過的外心，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴.

∴，

∴，，

解得，當(dāng)時(shí)，滿足.

∴直線過定點(diǎn).