Question

3．已知實(shí)數(shù)a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，求證：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為1，則O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形內(nèi)取點(diǎn)D（a，b），a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，即可證明結(jié)論．

解答 證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，正方形的邊長(zhǎng)為1，則O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形內(nèi)取點(diǎn)D（a，b），a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，
$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，
可得OD+AD+CD+BD≥OB+AC=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，正確利用幾何意義是關(guān)鍵．