Question

【題目】（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，利用橢圓的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)列出方程，解出a和c的值，再利用計(jì)算b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，將直線與橢圓聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到、，由于以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以，即，代入和，解出k的值．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得，

解得，所以，

故所求橢圓C的方程為．

（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)，，

將直線的方程代入，

并整理，得．（*）

則，．

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，

所以，即．

又，

于是，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的Δ＞0，符合題意．

所以當(dāng)時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．