Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若（為常數(shù)）對任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若數(shù)列滿足，且，求證：數(shù)列為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②證明見解析.

【解析】

（1）由題可得數(shù)列為等比數(shù)列，則可得，進(jìn)而答案可求；

（2）①，利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②由①可得，則，又，可求出，，計(jì)算，進(jìn)一步，則可得，代入計(jì)算可得，得證.

（1）因?yàn)?/span>，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.

所以，所以.

（2）①.

當(dāng)時，，解得或（舍去）.

當(dāng)時，，

化簡得：.

又因?yàn)?/span>，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.

②因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，.

又因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)時，，解得.

因?yàn)?/span>，所以，兩式相除得，.

因?yàn)?/span>，所以，兩式相除得，，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，即.

所以數(shù)列為等比數(shù)列.