Question

【題目】已知集合,設(shè)整除或整除,令表示集合所含元素的個(gè)數(shù)．

（1）寫出的值;

（2）當(dāng)時(shí),寫出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意按分類計(jì)數(shù):即可求得答案;

（2）由（1）知,所以當(dāng)時(shí),的表達(dá)式要按除的余數(shù)進(jìn)行分類,最利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,即可求得答案.

（1）整除或整除,

故

（2） 當(dāng)時(shí),

,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立;

②假設(shè)()時(shí)結(jié)論成立,那么時(shí),在的基礎(chǔ)上新增加的元素在,,中產(chǎn)生,分以下情形討論:

1）若,則,

此時(shí)有

,結(jié)論成立;

2）若,則,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

3）若,則,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

4）若,則,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

5）若,則,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

6）若,則,此時(shí)有

,結(jié)論成立．

綜上所述,結(jié)論對(duì)滿足的自然數(shù)均成立．