Question

已知實(shí)數(shù)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；

（Ⅱ）若≥對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）證明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（Ⅱ）； （Ⅲ）證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由得出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，從而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時(shí)的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對(duì)任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，從 而由放縮和裂項(xiàng)求和可得：

.

試題解析：（I）當(dāng)，

由， 得單調(diào)增區(qū)間為；

由，得單調(diào)減區(qū)間為 ，                       2分

由上可知                           4分

（II）若對(duì)恒成立，即，

由（I）知問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立 ．       6分

令 ，   ，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴．

即 ， ∴ ．                   8分

由圖象與軸有唯一公共點(diǎn),知所求的值為1．   9分

（III）證明：由（II）知，   則在上恒成立．

又，                       11分

                        12分

．14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式的恒成立問(wèn)題；3.放縮法證明不等式