Question

1．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位，建立極坐標系．曲線C₁：p=1．
（1）若直線l與曲線C₁相交于點A，B，點M（1，1），證明：|MA|•|MB|為定值；
（2）將曲線C₁上的任意點（x，y）作伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=\sqrt{3x}\\ y'=y\end{array}\right.$后，得到曲線C₂上的點（x'，y'），求曲線C₂的內(nèi)接矩形ABCD周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C₁：x²+y²=1．直線l的參數(shù)方程代入，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，由此能證明|MA|•|MB|為定值．
（2）將曲線C₁上的任意點（x，y）伸縮變換后得C₂：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．由此能求出曲線C₂的內(nèi)接矩形ABCD周長的最大值．

解答 證明：（1）∵曲線C₁：p=1，∴曲線C₁：x²+y²=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得t²+2t（cosα+sinα）+1=0，
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=1．
解：（2）將曲線C₁上的任意點（x，y）作伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}x'=\sqrt{3x}\\ y'=y\end{array}\right.$，
伸縮變換后得C₂：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$．
不妨設(shè)點A（m，n）在第一象限，
由對稱性知：周長為$4（{m+n}）=4（{\sqrt{3}cosθ+sinθ}）$=$8sin（{θ+\frac{π}{3}}）≤8$，（$θ=\frac{π}{6}$時取等號），
∴曲線C₂的內(nèi)接矩形ABCD周長的最大值為8．

點評 本題考查兩線段乘積為定值的證明，考查曲線內(nèi)接矩形周長的最大值的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的應(yīng)用，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．