Question

13．過拋物線y²=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|=2|AF|，則|BF|等于（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由題意可知：|AC|=2|AF|，則∠ACD=$\frac{π}{6}$，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨=丨AD丨=$\frac{4}{3}$，直線AB的切斜角$\frac{π}{3}$，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．

解答 解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x=-1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，
過A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由拋物線的定義可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，
|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，
則∠ACD=$\frac{π}{6}$，由丨HF丨=p=2，
∴$\frac{丨HF丨}{丨AD丨}$=$\frac{丨CF丨}{丨AC丨}$=$\frac{3}{2}$，
則丨AF丨=丨AD丨=$\frac{4}{3}$，
設(shè)直線AB的方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\sqrt{3}（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：3x2-10x+1=0，
則x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{16}{3}$，
∴丨AF丨+丨BF丨=$\frac{16}{3}$，解得：丨BF丨=4，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．