Question

12．已知數(shù)列{a_n}中a₁=3，其前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是公差為3的等差數(shù)列，b₁=1．現(xiàn)將數(shù)列{a_n}中的a${\;}_{_{1}}$，a${\;}_{_{2}}$，…a${\;}_{_{n}}$…抽出，按原有順序組成一新數(shù)列{c_n}，試求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，可得${c_n}={a_{b_n}}={a_{3n-2}}={3^{3n-2}}$，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}{a_2}-\frac{3}{2}=3$，∴a₂=9            （2分）
∵${S_n}=\frac{1}{2}•{a_{n+1}}-\frac{3}{2}$，
∴${S_{n-1}}=\frac{1}{2}•{a_n}-\frac{3}{2}，\;（n≥2）$，
相減得：$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3\;（n≥2）$，
∴a_n=${a}_{2}•{3}^{n-2}$=3ⁿ，（5分）
當n=1時，符合${a_n}={3^n}$，（6分）
∴${a_n}={3^n}$．                                           （7分）
（Ⅱ）b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，（9分）
${c_n}={a_{b_n}}={a_{3n-2}}={3^{3n-2}}$              （12分）
∴{c_n}是以3為首項，以27為公比的等比數(shù)列，
∴${T_n}=\frac{{3（1-{{27}^n}）}}{1-27}=\frac{3}{26}（{27^n}-1）$                （15分）

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．