Question

在軸同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切（），且動(dòng)圓與軸相切，求

   （1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程L;

   （2）若直線與曲線L有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求之值。

Answer 1

解析：（1）由可得

    由N，以及兩圓在軸同側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方，設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為,

    則有

    整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程  .  …………（5分）

    另解  由已知可得，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，

    且頂點(diǎn)在點(diǎn)（不包含該點(diǎn)）的拋物線，得軌跡方程

    ，即…………………（5分）

    （2）聯(lián)立方程組                ①

               ②

    消去得     ，

    由 整理得

                    ③

    從③可知 。 故令，代入③可得

     再令，代入上式得………（10分）

    同理可得，。可令代入③可得

               ④

    對(duì)④進(jìn)行配方，得  

    對(duì)此式進(jìn)行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，所以為8的倍數(shù)，所

    以.令，則 .

    所以               …………………………………（15分）

    僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)。于是解得

        . …………………（20分）