Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中， 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，且點(diǎn) 在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)， 求證：三點(diǎn)在同一條直線上

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）（法一）由題意，求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（法二）設(shè)橢圓的方程為（），列出方程組，求得的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算，即可證得三點(diǎn)共線。

（1）（法一）設(shè)橢圓的方程為，

∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴由橢圓定義可知，

∴，∴，∴橢圓的方程為.

（法二）不妨設(shè)橢圓的方程為（），

∵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，①

又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，②

聯(lián)立方程①，②，解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，直線的方程為，

由方程組消去，并整理得：，

∵，∴，，

∵直線的方程可表示為，

將此方程與直線聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∵

，所以，

又向量和有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)在同一條直線上.