Question

如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a m，高度為b m.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m²，問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。�A、B孔的面積忽略不計(jì)）？

Answer 1

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù).

依題意，即所求的a、b值使y值最小.

根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30），于是y==.令y′==0，得a=6或a=－10（舍去）.

由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)a=6此時(shí)b=3為所求，即當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.

解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大.由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥，∴2+ab≤30.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)上式取等號(hào).由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18，即當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18.由2b²=18，解得b=3，此時(shí)a=6.

故當(dāng)a為6 m，b為3 m時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.