Question

【題目】已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2,離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).

（i）若軸,求直線(xiàn)的斜率；

（ii）判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）,（ii）,理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)基本量的關(guān)系列式求解即可.

(2) （i）當(dāng)軸時(shí),可求得的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程與的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線(xiàn)的斜率.

（ii）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程, 設(shè),,根據(jù)題意求出直線(xiàn)的方程與的坐標(biāo),進(jìn)而得出直線(xiàn)的斜率表達(dá)式,代入韋達(dá)定理的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.

（1）由,,故,得,,

∴橢圓方程為：；

（2）可設(shè)：,

①軸,則：,當(dāng)在軸上方時(shí)有,,

∴的方程為：,∴,

∴.

當(dāng)在軸下方時(shí)有,,

∴的方程為：,∴,

∴.

綜上有.

②,證明如下：

把代入得,

設(shè),,則,,

∴：,∴,

∴,

由,∴,

∴.