Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

①求最大整數(shù)值；

②證明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2）①2②見解析

【解析】試題分析：（1）將代入到函數(shù)，再對求導(dǎo)，分別求出和，即可求出切線方程；（2）①若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，則先證明，構(gòu)造新函數(shù)，求出單調(diào)性，再同理可證，即可求出的最大整數(shù)值；②由①得，令，可得，累加后利用等比數(shù)列求和公式及放縮法即可得證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即．

（2）由題意知， ，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立．

①先證明．設(shè)，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即．

同理可證

∴，∴．

當(dāng)時(shí)， 恒成立．

當(dāng)時(shí)， ，即不恒成立．

綜上所述， 的最大整數(shù)值為2．

②由①知， ，令，

∴

∴．

由此可知，當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， ．

累加得 ．

又 ，

∴ ．