Question

【題目】已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意得,再由離心率求出，進(jìn)而得出，即可得到橢圓的方程．

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程：，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，的值和，即①，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)，寫(xiě)出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入，得，代入①式即可得到的取值范圍．

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，

且離心率為，

所以橢圓的方程為：．

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程：，，，

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立得：

.

整理得：①

，，

.

因?yàn)榫�(xiàn)段中點(diǎn)，

所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，

又因?yàn)榫�(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

所以，即，

所以，

代入①式得：，

整理得：，即

解得或，

所以的取值范圍為：．