Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若存在滿足，證明成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增沒有極值；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，分為和兩種情形判別導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系即可得結(jié)果；

（2）先得出，結(jié)合（1）知，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，可得出，結(jié)合（1）中的單調(diào)性即可得出結(jié)果.

（1）由得

當(dāng)時(shí)，從而得在上單調(diào)遞增沒有極值；

當(dāng)時(shí)，得；

得；得；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)有極小值，無極大值.

（2）由得：，從而得

由(1)知當(dāng)時(shí)，從而得在上單調(diào)遞增，所以此時(shí)不成立

可知此時(shí)，由于的極小值點(diǎn)為，可設(shè)

設(shè)

，僅當(dāng)時(shí)取得“”

所以在為單調(diào)遞增函數(shù)且

當(dāng)，時(shí)有，即

又由，所以

又由(1)知在上單調(diào)遞減，且，

所以從而得證成立.