Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：根據(jù)當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，可得

f(x)

x

為增函數(shù)，結合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，可分析出在各個區(qū)間上，

f(x)

x

和f（x）的符號，進而可得不等式f（x）＞0的解集．

解答： 解：∵當x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，
∴當x＞0時，

f(x)

x

為增函數(shù)，
又∵f（1）=0，
∴當x＞1時，

f(x)

x

＞0，f（x）＞0，當0＜x＜1時，

f(x)

x

＜0，f（x）＜0，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴

f(x)

x

是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
故當x＜-1時，

f(x)

x

＞0，f（x）＜0，當-1＜x＜0時，

f(x)

x

＜0，f（x）＞0，
故f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故選：A

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)的單調性，是函數(shù)圖象和性質與導函數(shù)的綜合應用，難度中檔．