Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，過F₂的直線l交C于A，B兩點，若△ABF₁的周長為4$\sqrt{3}$，則C的短軸長為（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，2a=4$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2，C的短軸長2b=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
若△ABF₁的周長為4$\sqrt{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=1，
由b²=a²-c²=3-1=2，
b=$\sqrt{2}$，
C的短軸長2$\sqrt{2}$
故答案選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，離心率公式，考查計算能力，屬于基礎題．