Question

【題目】在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形, , , 若、、別是棱、、的中點(diǎn),則下列四個(gè)命題:

；

②三棱錐的外接球的表面積為；

③三棱錐的體積為；

④直線與平面所成角為

其中正確的命題有__________．(把所有正確命題的序號(hào)填在答題卡上)

Answer 1

【答案】①②③

【解析】根據(jù)題意畫出如圖所示的直三棱柱：

其中，底面為等腰直角三角形, , ， 、、別是棱、、的中點(diǎn).

對(duì)于①，取中點(diǎn)，連接， 交于點(diǎn)，連接.

∵為中點(diǎn)， ，

∴四邊形為正方形，則

在中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，則∥，且.

∵為的中點(diǎn)，且∥

∴∥且

∴四邊形為平行四邊形

∴∥

∴，故正確；

對(duì)于②，易得，則.

∵

∴，即

∵

∴三棱錐的外接球的球心在線段的中點(diǎn)處，則外接球的半徑為

∴三棱錐的外接球的表面積為，故正確；

對(duì)于③，易得， .

在中， ， ， ，同理可得，則三棱錐為正四面體，其體積為，故正確；

對(duì)于④，直線在平面上的投影為直線，則為直線與平面所成的角，在中， ，故不正確.

故答案為①②③.