Question

18．已知函數(shù)f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2（m∈R）在區(qū)間[0，2]上的最小值是5，求m的值．

Answer 1

分析 對m分類討論，求出f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值，使其等于5，解方程即可得到m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4x²-4mx+m²-2m+2
=4（x-$\frac{m}{2}$）²+2-2m，對稱軸為x=$\frac{m}{2}$，
①當m＜0時，f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（0）=m²-2m+2=5．
解得m=3（舍去）或m=-1；
②當0≤m≤4時，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=2-2m=5，
解得m=-$\frac{3}{2}$（舍）；
③當m＞4時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（2）=m²-10m+18=5．
解得m=5+2$\sqrt{3}$或5-2$\sqrt{3}$（舍去）．
綜上，實數(shù)m的值是-1或5+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．