Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象恒在直線的下方（點(diǎn)除外）；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒大于，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，又因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，所以；                  

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以，所以的方程為：，

令，

則，又因?yàn)?sub>，         

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

所以，所以，

即函數(shù)的圖象恒在其切線的下方（切點(diǎn)除外）；

（Ⅲ）因?yàn)?sub>，所以當(dāng)時(shí)，，

即，.                                                   

令，

所以在單調(diào)遞增，
所以在恒成立，

所以在恒成立，所以.