Question

20．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為$\frac{1}{2}$，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，其中x，y∈R，則4x-y的最大值為（　�。�

• A． $3-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $3+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． $3+\;\frac{{\sqrt{17}}}{2}$

Answer 1

分析 建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程；設出P的坐標，求出三個向量的坐標，將P的坐標代入圓內方程求出4x-y范圍．

解答 解：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），
直線BD的方程為x+2y-2=0，C到BD的距離d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴圓弧以點C為圓心的圓方程為（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
設P（m，n）則$\overrightarrow{AP}$=（m，n），
$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1）
若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}$，
∴（m，n）=（2x-y，y）
∴m=2x-y，n=y
∵P在圓內或圓上
∴（2x-y-1）²+（y-1）²≤$\frac{1}{4}$，
設4x-y=t，則y=4x-t，代入上式整理得80x²-（48t+16）x+8t²+7≤0，
設f（x）=80x²-（48t+32）x+8t²+7≤0，x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）＜0}\\{f（\frac{3}{2}）＜0}\end{array}\right.$，
解得2≤t≤3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故4x-y的最大值為3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：B

點評 本題考通過建立直角坐標系將問題代數(shù)化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標公式，屬于中檔題