Question

【題目】已知梯形如圖（1）所示，其中， ，四邊形是邊長為的正方形，現沿進行折疊，使得平面平面，得到如圖（2）所示的幾何體.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）已知點在線段上，且平面，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）與平面所成角的正弦值為.

【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，可先證線線垂直，先由線面關系得到，由為正方形得，進而得到平面，從而得到面面垂直；（2）建立空間坐標系，分別求得面的法向量和線的方向向量，由向量夾角公式求得線面角.

解析：

（Ⅰ）證明：由平面平面， ，

平面平面， 平面，

得平面，又平面，

∴，

由為正方形得，

又， ， 平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由平面得， ，

又故以為原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立圖示空間直角坐標系，則， ， ， ，

設，則，

設平面的一個法向量為，

由， ，

得取得，

∵平面， ，

∴， ，

， ，

設與平面所成的角為，則

，

∴與平面所成角的正弦值為.