Question

14．已知函數(shù)y=f（x）恒滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=2^|x|-1，則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8．

Answer 1

分析 作出f（x）與y=|lgx|的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期為2，
令g（x）=0得f（x）=|lgx|，
作出y=f（x）與y=|lgx|的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）與y=|lgx|在（0，1）上必有1解，
又f（x）的最小值為$\frac{1}{2}$，f（x）的最大值為1，
∵lg2＜lg$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$，lg4＞lg$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$，lg9＜1，lg11＞1，
∴f（x）與y=|lgx|在（10，+∞）上沒(méi)有交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知f（x）與y=|lgx|共有8個(gè)交點(diǎn)，
∴g（x）共有8個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與圖象的關(guān)系，屬于中檔題．